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有限單元法 | 安維士

2019-11-19 來源:南京安維士作者:南京安維士 瀏覽數(shù):5147

有限元法簡(jiǎn)單地說,就是將離散的有限個(gè)單元來代替整體的結(jié)構(gòu),單元的特性由有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)來表征,從而實(shí)現(xiàn)整體分析部分化、單元化。使用合適的方式,組合包含未知參數(shù)的代數(shù)方程,這些方程包含各個(gè)單元的關(guān)系式子組成,利用插值函數(shù),通過所構(gòu)建的平衡方程組求得節(jié)點(diǎn)未知參數(shù),求得插值函數(shù)的近似解。以一個(gè)單向受拉桿為例,來介紹有限元的計(jì)算思想。

   有限元法簡(jiǎn)單地說,就是將離散的有限個(gè)單元來代替整體的結(jié)構(gòu),單元的特性由有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)來表征,從而實(shí)現(xiàn)整體分析部分化、單元化。使用合適的方式,組合包含未知參數(shù)的代數(shù)方程,這些方程包含各個(gè)單元的關(guān)系式子組成,利用插值函數(shù),通過所構(gòu)建的平衡方程組求得節(jié)點(diǎn)未知參數(shù),求得插值函數(shù)的近似解。以一個(gè)單向受拉桿為例,來介紹有限元的計(jì)算思想。
 
  如圖1所示,拉桿一端固定,另一端受外力P=10kN,拉桿長(zhǎng)度L=400mm,橫截面積A=100mm2,材料為Q235,,計(jì)算軸向變形。


 
圖1
 
  根據(jù)材料力學(xué)胡克定律:


 
  即得圖1拉桿右端的位移。將公式1進(jìn)行簡(jiǎn)單的移項(xiàng)可改寫為公式2


 
  EA/L項(xiàng)即為單元?jiǎng)偠萲。
 
  下面開始推導(dǎo)有限元一維桿單元線性靜力學(xué)典型方程,將圖1軸向受拉桿劃分成一個(gè)桿單元,一個(gè)桿單元分左右i、j兩個(gè)節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)有一個(gè)自由度,即沿X方向的平動(dòng)自由度。


 
圖2
 
  由圖2可知,桿左右兩側(cè)均受拉力作用,左側(cè)Pi和右側(cè)Pj的內(nèi)力由公式2推導(dǎo)如下:


 
  將公式(3)寫成矩陣形式


 
  在公式4中有ui和uj兩個(gè)未知量,若1個(gè)節(jié)點(diǎn)有1個(gè)廣義未知量,1個(gè)一維桿單元包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn),則1個(gè)單元共有兩個(gè)廣義位移未知量,最終構(gòu)成的矩陣為2X2的方陣。
 
  公式4可簡(jiǎn)寫成公式5


 
  式中,


 
  公式5即為有限元線性靜力學(xué)的典型方程。
 
  公式4僅為1個(gè)單元的靜力平衡方程,若將圖1的軸向受力構(gòu)件劃分成兩個(gè)單元,則需要將兩個(gè)單元平衡方程進(jìn)行組裝。下面就以圖1的構(gòu)件為例,將其劃分成兩個(gè)單元,計(jì)算其右側(cè)的軸向位移。
 
  單元?jiǎng)澐秩鐖D3,左側(cè)定義為1號(hào)單元,右側(cè)定義為2號(hào)單元,共有 3個(gè)節(jié)點(diǎn),3個(gè)未知位移,故最終構(gòu)成的矩陣應(yīng)該是3X3的方陣。


 
圖3
 
  1號(hào)單元的靜力平衡方程如公式7:


 
  在組裝矩陣之前,需要擴(kuò)充公式6和公式7,擴(kuò)充矩陣的目的是將3個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移全部納入到總剛矩陣中便于后面矩陣疊加,擴(kuò)充后的公式6和公式7如下:


 
  下面將擴(kuò)充后的公式6和公式7合并、組裝,如公式9:


 
  公式9中剛度矩陣K的行列式為0,無法求解圖1中桿的位移,因此在使用有限元軟件進(jìn)行靜力學(xué)分析時(shí),由于結(jié)構(gòu)約束不足,會(huì)給出報(bào)錯(cuò)提示。
 
  若讓式9有解,需要對(duì)式9加入邊界條件,本例的邊界條件是左側(cè)i節(jié)點(diǎn)的軸向位移為0,即是已知的,故將式9的第一行和第一列從矩陣中去除,式9變成式10,如下式:


 
  將其它已知條件(彈性模量、桿長(zhǎng)、桿截面積及右側(cè)集中力)帶入式10:


 
  將公式10從矩陣形式改成線性方程組的形式:


 
  求解公式11,得


 
  由結(jié)果可知,有限元方法求出的基本結(jié)果是位移,應(yīng)變,應(yīng)力場(chǎng)是基于位移基本解迭代出來的。
 
  作者  李文文    高級(jí)工程師
 
  南京安維士傳動(dòng)技術(shù)股份有限公司
 
  Review


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